目标式
出现 \(\frac ax+\frac by\) 一类正分式和。
广西高考数学基础课 · 1课时
1 的妙用
把约束“乘”进目标式
把等于 1 的正数约束乘到分式目标上，再用柯西不等式求最值。
先认信号：分式目标 + 正数约束
约束式
已知 \(px+qy=c\)，各量均为正。
任务
求最小值，并说明等号何时成立。
把约束化成 1：\[1=\frac{px+qy}{c}.\]乘这个“1”，数值不变，却能让分母与同名变量配对。
变量不保证为正、约束不是等式或等号无法满足时，不能机械套用。
核心：乘 1，再用柯西不等式
当各量为正且 \(px+qy=c\) 时，\[\left(\frac ax+\frac by\right)\frac{px+qy}{c}\ge\frac{(\sqrt{ap}+\sqrt{bq})^2}{c}.\]
- 查正：确认所有量为正。
- 造 1：约束同除以常数。
- 配对：与同名变量配对。
- 验等：代回原约束。
口诀：约束化一，乘进目标；柯西压界，回头验等。
教学母题：每一步都写理由
已知 \(x,y>0\)，且 \(x+2y=4\)，求 \(\frac1x+\frac2y\) 的最小值。
先想：约束怎样变成 1？两组根号乘积是多少？
答案最小值为 \(\frac94\)，在 \(x=y=\frac43\) 时取得。
过程由约束得 \(1=\frac{x+2y}{4}\)，于是\[\frac1x+\frac2y=\left(\frac1x+\frac2y\right)\frac{x+2y}{4}\ge\frac{(1+2)^2}{4}=\frac94.\]等号要求 \(x=y\)，联立得 \(x=y=\frac43\)。易错：得到下界后，必须确认等号可达。
学生母题：独立写完四步
已知 \(x,y>0\)，且 \(2x+y=3\)，求 \(\frac2x+\frac1y\) 的最小值。
短变式：① 目标改为 \(\frac1x+\frac1y\)；② 约束改为 \(2x+y=6\)；③ \(x+y=1\)，求 \(\frac4x+\frac9y\) 的最小值。
答案母题：\(3\)；① \(\frac{3+2\sqrt2}{3}\)；② \(\frac32\)；③ \(25\)。
过程\[\frac2x+\frac1y\ge\frac{(2+1)^2}{3}=3.\]等号在 \(x=y=1\) 时成立。变式依次用 \((\sqrt2+1)^2/3\)、\(9/6\)、\((2+3)^2\)。易错：约束常数改变，下界的分母也要改变。
三道闸：正数、配对、等号可达
正数闸
未给 \(x,y>0\) 时，目标式可能无下界。
配对闸
\(\frac ax\) 必须与含 \(x\) 的约束项配对。
等号闸
等号满足全部限制，下界才是最小值。
十秒检验：把求得的 \(x,y\) 代回原约束，再代入目标式核对。
课堂出口
约束化 1
对应配对
验等收尾
看到正分式和与正线性约束时，先问：能否造出等于 1 的式子？等号能否实现？