求函数 (f(x)=√(x+1)) 的定义域。
本题入口：偶次根号内不小于 0。
答案[-1,+∞)
解题过程1. 圈出偶次根号。
2. 列出 (x+1≥0)。
3. 解得 (x≥-1)。易错提醒：端点 -1 可以取到。
2. 列出 (x+1≥0)。
3. 解得 (x≥-1)。易错提醒：端点 -1 可以取到。
广西高考数学基础提升课
函数性质
先看定义域，再看图像
学会五件事：判断定义域、奇偶性、单调性、最值与周期性，并能把多个性质连接起来解综合题。
25分钟
定义域与图像语言
定义域与图像语言
25分钟
奇偶性
奇偶性
35分钟
单调性
单调性
35分钟
最值与综合
最值与综合
新增
周期性与综合训练
周期性与综合训练
公式速查：条件写在结论前
奇偶性
定义域关于原点对称，且 f(-x)=f(x)，是偶函数。
定义域关于原点对称，且 f(-x)=-f(x)，是奇函数。
先查定义域；不对称时，不再代入。
单调性与最值
在区间 \(I\) 内，若 \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\)，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上单调递增。
若对定义域内每个 \(x\)，都有 \(f(x)\le M\)，并且存在 \(x_0\) 使 \(f(x_0)=M\)，则 \(M\) 是最大值。
单调性必须写区间；“取到”是最值的关键。
周期性
若存在非零常数 \(T\)，使定义域内每个 \(x\) 都满足 \(f(x+T)=f(x)\)，则 \(T\) 是一个周期。
若正周期中存在最小值，则称它为最小正周期：\(T_0=\min\{T>0\mid f(x+T)=f(x)\}\)。
恒等式 \(f(x+a)=f(x+b)\) 给出周期 \(|a-b|\)；前提是对定义域内每个 \(x\) 都成立。
\(\sin(x+2\pi)=\sin x\)，\(\cos(x+2\pi)=\cos x\)，\(\tan(x+\pi)=\tan x\)。
1. 定义域：先确认 x 能不能取
必会
三类限制
- 分母不能为 0。
- 偶次根号内不能小于 0。
- 实际问题中的量要符合意义。
入口：逐条列限制 → 求交集 → 用区间或集合表示。
最小代入：(f(x)= 1 x−2 ) 中，(x≠2)。
第1部分练习：把限制取交集
学生母题
同考点自编
求函数 f(x)=
1
x+3
的定义域。
本题入口：分母不能为 0。
短变式：
① 改为 (f(x)=√(2−x))。
② 改为 f(x)=
1
√(x−1)
。
答案母题：{x| x≠-3}；① (( -∞,2])；② ((1,+∞))
解题过程1. 令分母 x+3≠0。
2. 得到 (x≠-3)。
变式②：根号内要大于 0，因为根号还在分母上。易错提醒：分母中的根号内不能等于 0。
2. 得到 (x≠-3)。
变式②：根号内要大于 0，因为根号还在分母上。易错提醒：分母中的根号内不能等于 0。
练习 2 · 稍难同考点自编
求函数 \(f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}\) 的定义域。
本题入口：同时满足 \(2x-1\ge0\) 与 \(x-2\ne0\)，最后取交集。
答案\(\left[\frac12,2\right)\cup(2,+\infty)\)
解题过程1. 由根号得 \(x\ge\frac12\)。
2. 由分母得 \(x\ne2\)。
3. 取两个条件的交集。易错提醒：\(x=2\) 虽满足根号条件，仍必须排除。
2. 由分母得 \(x\ne2\)。
3. 取两个条件的交集。易错提醒：\(x=2\) 虽满足根号条件，仍必须排除。
2. 奇偶性：先对称，再代入
必会
谨慎使用
判断顺序不能换
第一步，检查定义域是否关于原点对称。
第二步，计算 f(-x)，再与 f(x) 和 (-f(x)) 比较。
图像语言：偶函数关于 y 轴对称；奇函数关于原点对称。
不能直接用：只看式子像“奇次项”不够，定义域也必须对称。
教学母题
基础自编
判断 (f(x)=x²+1) 的奇偶性。
本题入口：定义域为实数集，先算 f(-x)。
答案偶函数
解题过程1. 确认定义域为实数集，关于原点对称。
2. 代入 (-x)，得 (f(-x)=(-x)²+1)。
3. 化简得 f(-x)=x²+1=f(x)。易错提醒：括号外的平方要作用于整个 (-x)。
2. 代入 (-x)，得 (f(-x)=(-x)²+1)。
3. 化简得 f(-x)=x²+1=f(x)。易错提醒：括号外的平方要作用于整个 (-x)。
第2部分练习：定义域不对称就停止
学生母题
同考点自编
判断 (f(x)=x³-x) 的奇偶性。
本题入口：计算 f(-x)。
短变式：
① 改为 (f(x)=x²+x)。
② 改为 (f(x)=x², x≥0)。
答案母题：奇函数；① 非奇非偶；② 非奇非偶
解题过程1. 确认定义域为实数集。
2. 计算 (f(-x)=-x³+x)。
3. 提取负号，得到 f(-x)=-(x³-x)=-f(x)。
变式②：定义域不关于原点对称，立即停止。易错提醒：非奇函数不等于偶函数。
2. 计算 (f(-x)=-x³+x)。
3. 提取负号，得到 f(-x)=-(x³-x)=-f(x)。
变式②：定义域不关于原点对称，立即停止。易错提醒：非奇函数不等于偶函数。
练习 2 · 稍难同考点自编
已知 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\) 为奇函数，判断是否存在实数 \(a,b\)。
本题入口：奇函数必须满足 \(f(0)=0\)。
答案不存在
解题过程1. 奇函数的定义域为实数集，且必须有 \(f(0)=0\)。
2. 代入得 \(f(0)=2\)。
3. 与必要条件矛盾，因此无论 \(a,b\) 取何值都不存在。易错提醒：先用 \(f(0)=0\) 快速排除，不必展开 \(f(-x)\)。
2. 代入得 \(f(0)=2\)。
3. 与必要条件矛盾，因此无论 \(a,b\) 取何值都不存在。易错提醒：先用 \(f(0)=0\) 快速排除，不必展开 \(f(-x)\)。
3. 单调性：比较同一区间内的函数值
必会
常考
三种常见入口
- 看图像：从左到右上升或下降。
- 用定义：取 x₁ < x₂，比较 (f(x₁)) 与 (f(x₂))。
- 学过导数后：看导数的正负。
检算：在区间内取两个简单数，检查方向。
谨慎：取两个点只能排错，不能代替完整证明。
教学母题
基础自编
用定义证明 (f(x)=2x+1) 在实数集上单调递增。
本题入口：取 x₁ < x₂，比较差 f(x₂)-f(x₁)。
答案在实数集上单调递增
解题过程1. 任取 x₁ < x₂。
2. 作差得 f(x₂)-f(x₁)=2(x₂-x₁)。
3. 因为 (x₂-x₁>0)，所以差大于 0。
4. 得到 f(x₁) < f(x₂)。易错提醒：结论必须带上“在实数集上”。
2. 作差得 f(x₂)-f(x₁)=2(x₂-x₁)。
3. 因为 (x₂-x₁>0)，所以差大于 0。
4. 得到 f(x₁) < f(x₂)。易错提醒：结论必须带上“在实数集上”。
第3部分练习：指数函数先看指数
学生母题
2023新课标Ⅰ卷第4题·改编设问
函数 f(x)=2x(x−a) 在区间 (0,1) 上单调递减，求实数 a 的取值范围。
本题入口：底数 2 大于 1，先让指数函数在该区间递减。
短变式：
① 区间改为 (0,2)。
② 只判断 a=3 是否满足母题条件。
答案母题：[2,+∞)；① [4,+∞)；② 满足
解题过程1. 记指数 (g(x)=x²-ax)。
2. 观察抛物线的对称轴 x= a 2 。
3. 要使 (g(x)) 在 (0,1) 上递减，对称轴应在 1 的右侧或恰在 1。
4. 列出 a 2 ≥1，得 a≥2。
变式①：把右端点 1 换成 2。易错提醒：底数大于 1 时，外层函数不改变单调方向。
2. 观察抛物线的对称轴 x= a 2 。
3. 要使 (g(x)) 在 (0,1) 上递减，对称轴应在 1 的右侧或恰在 1。
4. 列出 a 2 ≥1，得 a≥2。
变式①：把右端点 1 换成 2。易错提醒：底数大于 1 时，外层函数不改变单调方向。
练习 2 · 稍难同考点自编
函数 \(f(x)=x+\frac{4}{x}\) 在区间 \([2,+\infty)\) 上是否单调递增？
本题入口：比较 \(f(x_2)-f(x_1)\)，并利用 \(x_1,x_2\ge2\)。
答案是，在 \([2,+\infty)\) 上单调递增
解题过程1. 取 \(2\le x_1<x_2\)。
2. 化简：\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)\left(1-\frac{4}{x_1x_2}\right)\)。
3. 因 \(x_1x_2>4\)，两个因子都大于 0。
4. 所以 \(f(x_2)>f(x_1)\)。易错提醒：不能只凭取两个数就证明单调性。
2. 化简：\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)\left(1-\frac{4}{x_1x_2}\right)\)。
3. 因 \(x_1x_2>4\)，两个因子都大于 0。
4. 所以 \(f(x_2)>f(x_1)\)。易错提醒：不能只凭取两个数就证明单调性。
4. 最值：既要比较，还要取到
必会
常考
闭区间上的操作
先找单调区间，再计算端点或转折点的函数值，最后比较。
标准步骤：找区间 → 定方向 → 算候选值 → 比较 → 回答。
二级结论：连续且单调递增时，左端点取最小值，右端点取最大值。只有端点属于区间时才能说“取到”。
教学母题
基础自编
求 (f(x)=x²-4x+5) 在 [0,3] 上的最大值与最小值。
本题入口：配方找对称轴，再比较端点和顶点。
答案最大值为 5，最小值为 1
解题过程1. 配方得 (f(x)=(x-2)²+1)。
2. 找到顶点横坐标 2，它在区间内。
3. 计算 f(0)=5, f(2)=1, f(3)=2。
4. 比较三个候选值。易错提醒：不能只算两个端点；顶点在区间内也要算。
2. 找到顶点横坐标 2，它在区间内。
3. 计算 f(0)=5, f(2)=1, f(3)=2。
4. 比较三个候选值。易错提醒：不能只算两个端点；顶点在区间内也要算。
第4部分练习：端点是否包含决定能否取到
学生母题
同考点自编
已知 (f(x)=3-x)，求它在 [-1,2] 上的最大值与最小值。
本题入口：一次函数斜率小于 0，从左到右递减。
短变式：
① 区间改为 (-1,2]，判断是否有最大值。
② 函数改为 f(x)=3+x，区间不变。
答案母题：最大值 4，最小值 1；① 没有最大值，最小值为 1；② 最大值 5，最小值 2
解题过程1. 判断函数在实数集上单调递减。
2. 计算左端点值得 f(-1)=4。
3. 计算右端点值得 f(2)=1。
4. 按递减方向确定最大值和最小值。
变式①：左端点不属于区间，函数值可以接近 4，但不能取到 4。易错提醒：上界不一定是最大值；必须实际取到。
2. 计算左端点值得 f(-1)=4。
3. 计算右端点值得 f(2)=1。
4. 按递减方向确定最大值和最小值。
变式①：左端点不属于区间，函数值可以接近 4，但不能取到 4。易错提醒：上界不一定是最大值；必须实际取到。
练习 2 · 稍难同考点自编
求 \(f(x)=x+\frac{4}{x}\) 在 \([1,4]\) 上的最小值。
本题入口：用 \(x+\frac{4}{x}-4=\frac{(x-2)^2}{x}\) 比较。
答案最小值为 \(4\)，在 \(x=2\) 时取到
解题过程1. 在给定区间内 \(x>0\)。
2. 有 \(f(x)-4=\frac{(x-2)^2}{x}\ge0\)。
3. 当 \(x=2\) 时等号成立，且 \(2\in[1,4]\)。
4. 因此最小值为 4。易错提醒：写出等号成立条件，才能说明最小值确实取到。
2. 有 \(f(x)-4=\frac{(x-2)^2}{x}\ge0\)。
3. 当 \(x=2\) 时等号成立，且 \(2\in[1,4]\)。
4. 因此最小值为 4。易错提醒：写出等号成立条件，才能说明最小值确实取到。
5. 周期性：找一次完整重复
必会常考
定义、判定与常用变换
非零常数 \(T\) 若满足 \(f(x+T)=f(x)\)，且等式对定义域内每个 \(x\) 成立，则 \(T\) 是周期。
若 \(T\) 是周期，则整数倍 \(kT\) 也是周期；若 \(f(x+a)=f(x+b)\)，则 \(|a-b|\) 是周期。
若 \(f(a+x)=f(a-x)\) 且 \(f(b+x)=f(b-x)\)，则 \(2|a-b|\) 是周期。
标准步骤：找恒等式 → 算平移量 → 化回一个周期内 → 检查定义域。
谨慎：一个周期不一定是最小正周期；常数函数没有最小正周期。
教学母题基础自编
已知 \(f(x+3)=f(x)\)，且 \(f(1)=2\)，求 \(f(2026)\)。
本题入口：\(2026=1+3\times675\)。
答案\(2\)
解题过程1. 确认 3 是周期。
2. 把 2026 化成 \(1+3\times675\)。
3. 平移整数个周期，得 \(f(2026)=f(1)=2\)。易错提醒：周期是自变量的平移量。
2. 把 2026 化成 \(1+3\times675\)。
3. 平移整数个周期，得 \(f(2026)=f(1)=2\)。易错提醒：周期是自变量的平移量。
第5部分练习：先基础，再连接对称性
练习 1 · 基础同考点自编
已知 \(f(x)\) 的最小正周期为 4，且 \(f(-1)=3\)，求 \(f(11)\)。
本题入口：\(11=-1+4\times3\)。
短变式：① 改求 \(f(15)\)。② 把已知值改为 \(f(0)=1\)，求 \(f(100)\)。
答案母题：\(3\)；变式①：\(3\)；变式②：\(1\)
解题过程1. 两个自变量相差 12。
2. \(12=3\times4\)。
3. 所以 \(f(11)=f(-1)=3\)。易错提醒：此题不必使用“最小”二字。
2. \(12=3\times4\)。
3. 所以 \(f(11)=f(-1)=3\)。易错提醒：此题不必使用“最小”二字。
练习 2 · 稍难同考点自编
已知 \(f(1+x)=f(1-x)\)，且 \(f(4+x)=f(4-x)\) 对任意实数 \(x\) 成立。证明 6 是 \(f(x)\) 的一个周期。
本题入口：两个对称中心相距 3，两次对称合成平移 6。
答案\(f(x+6)=f(x)\)，所以 6 是一个周期
解题过程1. 关于 \(x=4\) 对称，得 \(f(x+6)=f(2-x)\)。
2. 关于 \(x=1\) 对称，得 \(f(2-x)=f(x)\)。
3. 所以 \(f(x+6)=f(x)\)。易错提醒：不能据此断言 6 是最小正周期。
2. 关于 \(x=1\) 对称，得 \(f(2-x)=f(x)\)。
3. 所以 \(f(x+6)=f(x)\)。易错提醒：不能据此断言 6 是最小正周期。
最后：综合题组，把性质串起来
综合训练综合自编
题 1：偶函数 \(f(x)\) 的最小正周期为 4，且在 \([0,2]\) 上 \(f(x)=x^2-2x\)。求 \(f(2027)\)。
题 2：已知 \(f(x+2)=f(x)\)，且 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上递增、在 \([1,2]\) 上递减，\(f(0)=f(2)=0,f(1)=3\)。求它在 \([-3,5]\) 上的最大值与最小值。
题 3：函数 \(g(x)=|\sin x|+\cos 2x\)。求一个周期，并求 \(g(x)\) 的最大值。
题 2：已知 \(f(x+2)=f(x)\)，且 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上递增、在 \([1,2]\) 上递减，\(f(0)=f(2)=0,f(1)=3\)。求它在 \([-3,5]\) 上的最大值与最小值。
题 3：函数 \(g(x)=|\sin x|+\cos 2x\)。求一个周期，并求 \(g(x)\) 的最大值。
统一入口：先用周期化回基本区间，再用奇偶或单调，最后检查等号条件。
答案题 1：\(-1\)；题 2：最大值 3，最小值 0；题 3：\(\pi\) 是一个周期，最大值为 \(\frac98\)
解题过程题 1：\(2027\equiv3\pmod4\)，所以 \(f(2027)=f(3)=f(-1)=f(1)=-1\)。
题 2：每个长度为 2 的周期都出现从 0 增到 3 再减到 0 的完整变化，区间内能取到两端值。
题 3：两项都以 \(\pi\) 为周期。令 \(t=|\sin x|\in[0,1]\)，则 \(g= t+1-2t^2=\frac98-2\left(t-\frac14\right)^2\)，故最大值为 \(\frac98\)。易错提醒：综合题每一步都要写适用区间或等号成立条件。
题 2：每个长度为 2 的周期都出现从 0 增到 3 再减到 0 的完整变化，区间内能取到两端值。
题 3：两项都以 \(\pi\) 为周期。令 \(t=|\sin x|\in[0,1]\)，则 \(g= t+1-2t^2=\frac98-2\left(t-\frac14\right)^2\)，故最大值为 \(\frac98\)。易错提醒：综合题每一步都要写适用区间或等号成立条件。
课堂出口 · 基础母题正确率达到80%再进综合题
域先行
奇偶看对称
单调带区间
周期找重复
最值要取到
遇到函数性质综合题，先在草稿上写五个词：定义域、对称、方向、周期、端点。