解析几何 · 4小时
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广西高考数学基础课

解析几何（4小时）
画图、设点、联立、降次、检验

面向基础薄弱考生。每部分约 55 分钟，先掌握一个入口，再完成一题母题和短变式；答案与过程按需查看。

公式速查：每个公式都要看条件

直线、距离与圆

点 \((x_0,y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\) 的距离：

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

圆心为 \((a,b)\)、半径为 \(r\) 的圆：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)。

条件：距离公式要求直线先整理成一般式；半径必须大于 0。

圆锥曲线与联立

椭圆：\(a^2=b^2+c^2\)；双曲线：\(c^2=a^2+b^2\)；离心率均为 \(e=\frac{c}{a}\)。

抛物线 \(y^2=2px\) 的焦点是 \((\frac p2,0)\)，准线是 \(x=-\frac p2\)。

联立后得到一元二次方程：判别式大于 0 才有两个不同交点；再用根与系数关系降次。

弦不竖直且写成 \(y=kx+m\) 时，弦长为 \(\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)。竖直弦不能直接套这个式子。

1. 直线、位置关系、距离与圆

必会

先把图形翻译成代数

目标：会写直线方程；会判平行、垂直和相交；会用距离判断直线与圆的位置。

前置：勾股定理、斜率、配方。建议 55 分钟。

两条非竖直直线平行看斜率相等；垂直看斜率乘积为 \(-1\)。竖直线要单独判断。

圆的一般式先配方找圆心与半径。比较圆心到直线的距离 \(d\) 与半径 \(r\)：\(d<r\) 相交，\(d=r\) 相切，\(d>r\) 相离。

口诀：画草图 → 找圆心半径 → 写直线 → 算距离 → 判位置。
教学母题2023 新课标Ⅰ卷第6题·改编
过点 \((0,-2)\) 与圆 \(x^2+y^2-4x-1=0\) 相切的两条直线夹角为 \(\alpha\)，求 \(\sin\alpha\)。
本题入口：配方找圆心与半径；连接圆心、切点和已知点，得到直角三角形。
答案\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
解题过程1. 配方：圆为 \((x-2)^2+y^2=5\)，圆心 \(C(2,0)\)，半径 \(\sqrt5\)。
2. 连接已知点 \(P\) 与切点。算得 \(|PC|=2\sqrt2\)，且半径垂直切线。
3. 设一条切线与 \(PC\) 的夹角为 \(\theta\)。由对称性，\(\alpha=2\theta\)。
4. 在直角三角形中，\(\sin\theta=\frac{\sqrt{10}}4\)，\(\cos\theta=\frac{\sqrt6}4\)。用二倍角得到结果。易错提醒：\(\alpha\) 是两条切线的夹角，不是其中一条切线与 \(PC\) 的夹角。

第1部分练习：距离先代一般式

学生母题基础自编
求点 \(P(2,3)\) 到直线 \(3x+4y-10=0\) 的距离。
本题入口：确认一般式系数，再代入点到直线距离公式。
短变式：① 点改为 \(P(2,1)\)，判断点是否在直线上；② 圆心为 \(P(2,3)\)、半径为 2，判断该直线与圆的位置关系
答案母题：\(\frac85\)；变式①：在直线上；变式②：相交
解题过程1. 读出 \(A=3,B=4,C=-10\)。
2. 代入点坐标，分子为 \(|3\times2+4\times3-10|=8\)。
3. 计算分母 \(\sqrt{3^2+4^2}=5\)，得到距离。
4. 变式①分子为 0；变式②比较 \(\frac85<2\)，所以相交。易错提醒：常数项是 \(-10\)，不要漏掉负号；距离分子必须取绝对值。
谨慎使用

斜率法的边界

只有两条直线斜率都存在时，才能直接比较斜率或使用斜率乘积。看到 \(x=c\) 先按竖直线单独处理。

十秒验证：在草图上检查是否出现竖直线。

2. 椭圆、双曲线与抛物线

常考

定义决定标准方程

目标：会由焦点、顶点、离心率写标准方程；会读出长短轴、渐近线、焦点和准线。

前置：平方关系、绝对值、平面距离。建议 55 分钟。

椭圆是到两焦点距离之和为常数的点集，且常数大于焦距。双曲线是到两焦点距离之差的绝对值为常数，且常数小于焦距。

抛物线是到焦点与到准线距离相等的点集。先看焦点在哪条轴上，再选标准式。

口诀：先定方向 → 再找 \(a,b,c,p\) → 写关系 → 回到图形检查。
教学母题2021 新课标Ⅰ卷第5题·改编
已知 \(F_1,F_2\) 是椭圆 \(C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) 的两个焦点，点 \(M\) 在 \(C\) 上，求 \(|MF_1|\cdot|MF_2|\) 的最大值。
本题入口：椭圆定义先给距离和，再用“和固定时两数相等乘积最大”。
答案9
解题过程1. 读出长半轴 \(a=3\)。
2. 用椭圆定义得到 \(|MF_1|+|MF_2|=2a=6\)。
3. 两个正数的和固定时，相等时乘积最大。
4. 取 \(|MF_1|=|MF_2|=3\)，乘积最大为 9。易错提醒：椭圆定义给的是距离和，不是距离平方和。

第2部分练习：先认方向再读参数

学生母题基础自编
椭圆 \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) 的焦点坐标和离心率分别是什么？
本题入口：大分母在 \(x\) 轴下，先算 \(c^2=a^2-b^2\)。
短变式：① 双曲线 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) 的焦点和离心率；② 抛物线 \(y^2=8x\) 的焦点和准线
答案母题：\((\pm4,0)\)，\(e=\frac45\)；变式①：\((\pm5,0)\)，\(e=\frac53\)；变式②：\((2,0)\)，\(x=-2\)
解题过程1. 读出 \(a=5,b=3\)，焦点在 \(x\) 轴。
2. 计算 \(c^2=25-9=16\)，所以 \(c=4\)。
3. 写焦点 \((\pm4,0)\)，再算 \(e=\frac ca=\frac45\)。
4. 变式①改用双曲线关系 \(c^2=a^2+b^2\)；变式②由 \(2p=8\) 得 \(p=4\)。易错提醒：椭圆是“减”，双曲线是“加”；抛物线焦点横坐标是 \(\frac p2\)，不是 \(p\)。
谨慎使用

标准式的边界

只有中心或顶点在原点、对称轴与坐标轴重合时，才能直接套本页标准式。平移或旋转后的方程要先化形。

十秒验证：把原点代入，再看图形的中心或顶点是否真在原点。

3. 直线与圆锥曲线联立

必会常考

设点不必真解点

目标：会联立并降为一元二次方程；会用判别式判交点个数；会用根与系数关系表示对称式。

前置：一元二次方程、判别式、根与系数关系。建议 60 分钟。

把直线代入曲线后，先整理成 \(Ax^2+Bx+C=0\)。两不同交点要求 \(A\ne0\) 且判别式大于 0。

若只需要 \(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\) 或弦长，不要急着解出两个根。

标准动作：设点 → 联立 → 整理 → 查二次项 → 判别式 → 根与系数降次。
教学母题同考点自编
直线 \(y=x+m\) 与椭圆 \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\) 有两个不同交点，求 \(m\) 的取值范围。
本题入口：代入后只判断根的个数，不需要求交点坐标。
答案\(-\sqrt5<m<\sqrt5\)
解题过程1. 把 \(y=x+m\) 代入椭圆并乘去分母。
2. 整理得 \(5x^2+8mx+4m^2-4=0\)。
3. 两个不同交点要求判别式大于 0。计算得 \(16(5-m^2)>0\)。
4. 解不等式并检查二次项系数始终为 5，得到范围。易错提醒：相切时判别式等于 0，不能算作两个不同交点。

第3部分练习：用根与系数关系降次

学生母题2021 新高考Ⅱ卷第20题·改编
直线 \(x=my+\sqrt2\) 与圆 \(x^2+y^2=1\) 相切，并与椭圆 \(\frac{x^2}{3}+y^2=1\) 交于 \(M,N\)。设两交点纵坐标为 \(y_1,y_2\)，求 \(m^2\)、\(y_1+y_2\) 与 \(y_1y_2\)。
本题入口：先用圆心到直线的距离求 \(m^2\)，再联立椭圆并使用根与系数关系。
短变式：① 保留母题相切条件，只判断直线与椭圆有几个交点；② 把相切改为相交，写出关于 \(m\) 的一个判别条件
答案母题：\(m^2=1\)，\(y_1+y_2=-\frac{\sqrt2m}{2}\)，\(y_1y_2=-\frac14\)；变式①：两个不同交点；变式②：\(m^2>1\)
解题过程1. 把直线写成 \(x-my-\sqrt2=0\)。圆心到直线距离等于 1，得 \(m^2=1\)。
2. 代入椭圆并整理为 \(4y^2+2\sqrt2my-1=0\)。
3. 直接读根与系数关系，得到两根的和与积。
4. 该方程判别式为 24，所以确有两个不同交点；变式②把圆心距小于 1 化为 \(m^2>1\)。易错提醒：直线与圆相切的判别条件，不能代替直线与椭圆的判别式检查。
谨慎使用

点差法不是无条件公式

只有两个不同点都在同一二次曲线上，且所求量能由坐标差消去时才考虑点差。切点重合、分母可能为 0，或曲线含平移项时，先回到联立法。

十秒验证：先确认“两点不同”和“除数不为 0”。

4. 弦长、中点、面积与定点定值

大题方法常考

把几何量变成根的对称式

目标：会算弦长、弦中点和三角形面积；能识别“参数最后消失”的定值与“恒过一点”的定点。

前置：第 3 部分全部内容、两点距离、点到直线距离。建议 60 分钟。

弦不竖直时，先由根与系数关系求 \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)，再乘斜率因子。

面积优先选“容易算的底”和点到直线的高。定点定值题先把结果写成参数式，再检查参数是否消去。

检算：查判别式 → 查斜率是否存在 → 查长度非负 → 把特殊参数代回。
教学母题基础自编
直线 \(y=x\) 与椭圆 \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\) 交于 \(A,B\)，求弦长 \(|AB|\)。
方法：联立求横坐标之差，再乘 \(\sqrt{1+k^2}\)。
答案\(|AB|=\frac{4\sqrt{10}}5\)
解题过程1. 代入 \(y=x\)，整理得 \(5x^2=4\)。
2. 两根为 \(\frac2{\sqrt5}\) 与 \(-\frac2{\sqrt5}\)，所以 \(|x_1-x_2|=\frac4{\sqrt5}\)。
3. 直线斜率 \(k=1\)，乘 \(\sqrt{1+k^2}=\sqrt2\)。
4. 化简并检查长度为正。易错提醒：\(|x_1-x_2|\) 只是横坐标差，不是弦长。

第4部分练习：底乘高前先认距离

学生母题2023 新高考Ⅱ卷第15题·原题
直线 \(x-my+1=0\) 与圆 \(C:(x-1)^2+y^2=4\) 交于 \(A,B\)。若 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(\frac85\)，写出满足条件的一个 \(m\) 值。
方法：圆心到弦的距离记为 \(d\)，弦长为 \(2\sqrt{r^2-d^2}\)，面积为弦长乘高的一半。
短变式：① 写出全部 \(m\) 值；② 当 \(m=0\) 时，求弦长 \(|AB|\)
答案母题示例：\(m=2\)；变式①：\(m=\pm2\) 或 \(m=\pm\frac12\)；变式②：0
解题过程1. 圆心为 \(C(1,0)\)，半径为 2。圆心到直线的距离 \(d=\frac2{\sqrt{1+m^2}}\)。
2. 面积为 \(d\sqrt{4-d^2}\)。令它等于 \(\frac85\)。
3. 设 \(u=d^2\)，得 \(u(4-u)=\frac{64}{25}\)，所以 \(u=\frac45\) 或 \(\frac{16}{5}\)。
4. 代回距离式，得到全部四个 \(m\) 值。变式②中直线与圆在 \((-1,0)\) 相切，弦长为 0。易错提醒：面积给定时距离可能有两个值；“交于 A、B”若要求两不同点，要排除相切情形。
谨慎使用

弦长与定点定值的边界

斜率式弦长只适用于斜率存在且有两个不同交点。所谓定点、定值必须对题目允许的全部参数成立，不能只代一个特殊值。

十秒验证：再选一个允许的参数代入；若结果改变，就不是定值。

课堂出口

画草图
设交点
联立降次
最后检验

先稳住直线、圆和三类标准曲线，再练判别式与根的关系。基础母题正确率达到 80% 后，再进入复杂定点定值题。