统计、独立性与概率（4小时）
导入
退出课程
公式组件未加载；正文、导航、答案和过程仍可使用。
广西高考数学基础课 · 4小时

统计、独立性与概率
先认模型，再算结论

四个入口：样本能否代表总体？两个变量怎样一起变化？已知条件后概率怎样更新？列联表能否支持“有关联”的判断？

键盘：方向键或空格翻页；A 只切换当前题答案；S 只切换当前题过程；Esc 关闭目录。

公式速查：先认符号与条件

统计与回归

\(\bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)，\(s^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}\)

\(n\) 是数据个数，\(\bar x\) 是平均数，\(s^2\) 描述数据围绕平均数的波动。本课按高中教材口径使用分母 \(n\)。

\(\hat y=\hat b x+\hat a\)，且 \(\hat a=\bar y-\hat b\bar x\)

回归直线经过样本中心 \((\bar x,\bar y)\)。超出已有数据范围的外推要谨慎。

条件概率与独立

\(P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)，其中 \(P(B)>0\)

已知 B 发生后，样本空间缩小到 B。若 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，则 A 与 B 独立。

全概率与二项分布

\(P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline B)P(A\mid\overline B)\)

B 与“B 不发生”要互斥且合起来覆盖全部情况。

\(P(X=k)=\mathrm C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\)

只用于 n 次相互独立、每次只有成功或失败、成功概率恒为 p 的重复试验；\(k=0,1,\ldots,n\)。

2×2 列联表

\(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)

a、b、c、d 是四格频数，n 是总数。先核对适用条件，再把计算值与题目给定临界值比较。

1. 从样本看总体：抽得合理，算得清楚

必会约55分钟

抽样与频率分布

  • 简单随机抽样：每个个体被抽到的机会相等，适合总体差异不明显。
  • 分层随机抽样：各层差异明显时，先分层，再按各层人数占比分配样本量。
  • 频率：某组频数除以样本量；频率分布直方图中，小矩形面积表示该组频率。
样本估计总体：先查随机性与代表性 → 算样本比例或数字特征 → 用“估计”“约”作答。便利抽样不能自然推广到总体。
数字特征：平均数看中心；中位数抗极端值；方差越大通常表示数据越分散。只看平均数不能说明稳定性。
教学母题2024高考综合改革适应性测试·数学第1题·原题
样本数据 16，24，14，10，20，30，12，14，40 的中位数为（　）
A. 14　B. 16　C. 18　D. 20
入口：先按从小到大排序；9 个数据的中位数是第 5 个数。
答案B. 16。
解题过程1. 排序：10，12，14，14，16，20，24，30，40。
2. 数出共有 9 个数据。
3. 取正中间第 5 个数据，得到 16。易错提醒：中位数必须先排序，不能取原顺序的中间数。

第1部分练习：样本比例估计总体

学生母题基础自编基础
用简单随机抽样调查 50 名学生，其中 20 名每天运动不少于 1 小时。估计全校 800 名学生中每天运动不少于 1 小时的人数。
入口：样本比例 \(\frac{20}{50}\) 估计总体比例，再乘总体人数。
短变式：① 样本中有 30 人符合条件；② 总人数改为 1000；③ 样本只来自校篮球队，能否直接推广
答案母题：约 320 人；变式①：约 480 人；变式②：约 400 人；变式③：不能直接推广。
解题过程1. 求样本比例：\(\frac{20}{50}=0.4\)。
2. 估计总体人数：\(800\times0.4=320\)。
3. 用“约 320 人”回答。
变式③：篮球队样本对运动习惯可能有系统偏差，代表性不足。易错提醒：频数不能直接当频率；非随机样本不宜推广。
收口口诀：抽样先看代表性，估计结论要留“约”。

2. 成对数据：看方向、看强弱、再预测

常考约50分钟

散点图与相关系数

点云大致从左下到右上是正相关，从左上到右下是负相关。相关系数 r 满足 \(-1\le r\le1\)；\(|r|\) 越接近 1，线性相关越强。

必须分清：相关关系不等于因果关系。共同原因、样本偏差或偶然性都可能形成相关。

回归直线与残差

\(\hat y=\hat b x+\hat a\)，\(e=y-\hat y\)

\(\hat y\) 是预测值，e 是实际值减预测值。斜率只解释“x 每增加 1 个单位，预测的 y 平均变化多少”。

教学母题基础自编
某组成对数据的 \(\bar x=4\)，\(\bar y=10\)，回归直线斜率 \(\hat b=1.5\)。求截距 \(\hat a\)。
入口：回归直线经过样本中心 \((\bar x,\bar y)\)。
答案\(\hat a=4\)，回归方程为 \(\hat y=1.5x+4\)。
解题过程1. 写关系：\(\hat a=\bar y-\hat b\bar x\)。
2. 代入：\(\hat a=10-1.5\times4\)。
3. 算得：\(\hat a=4\)。
4. 检查：x 取 4 时，预测值为 10。易错提醒：中心点使用的是两个样本平均数。

第2部分练习：预测与残差分开算

学生母题基础自编基础
回归方程为 \(\hat y=2x+3\)。当 \(x=4\) 时实际观测值 \(y=12\)。求预测值和残差。
入口：先代入求 \(\hat y\)，再用“实际值减预测值”。
短变式：① x 改为 5，只求预测值；② x 仍为 4，实际值改为 10；③ 能否据此断言 x 的增加导致 y 增加
答案母题：预测值 11，残差 1；变式①：13；变式②：残差 −1；变式③：不能。
解题过程1. 代入：\(\hat y=2\times4+3=11\)。
2. 相减：\(e=12-11=1\)。
3. 解释：实际值比预测值大 1。
变式③：回归刻画相关，单凭回归方程不能证明因果。易错提醒：残差的顺序是实际减预测；不要把相关写成因果。
收口口诀：散点先判方向，回归预测不作因果。

3. 概率模型：条件改变，样本空间也改变

必会约60分钟

条件、独立、互斥

\(P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)，\(P(B)>0\)

独立表示一个事件是否发生不改变另一个事件的概率。互斥表示两个事件不能同时发生。概率都非零的互斥事件一定不独立。

全概率与二项分布

全概率先按互斥且完备的原因分路，再把各路概率相加。二项分布必须满足：固定 n 次、相互独立、每次成功概率相同、只记成功次数。

若 \(X\sim B(n,p)\)，则 \(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)
最小代入：抛 4 次公平硬币，恰有 2 次正面的概率为 \(\mathrm C_4^2(\frac12)^2(\frac12)^2=\frac38\)。
教学母题基础自编
某零件来自甲线的概率为 0.6，来自乙线的概率为 0.4。甲、乙线的次品率分别为 0.02 和 0.05。随机取一件，求它是次品的概率。
入口：按“来自甲线”和“来自乙线”分成两条互斥且完备的路径。
答案0.032。
解题过程1. 分路：次品可能来自甲线，也可能来自乙线。
2. 算甲路：\(0.6\times0.02=0.012\)。
3. 算乙路：\(0.4\times0.05=0.020\)。
4. 相加：\(0.012+0.020=0.032\)。易错提醒：各路径先相乘，不同路径最后相加。

第3部分练习：先缩小样本空间

学生母题基础自编基础变式
掷一枚质地均匀的骰子。A 表示“点数为偶数”，B 表示“点数大于 3”。求 \(P(A\mid B)\)。
入口：已知 B 后，只在 4、5、6 中计算 A 的比例。
短变式：① 求 \(P(AB)\)；② 判断 A 与 B 是否独立；③ 判断 A 与 B 是否互斥
答案母题：\(\frac23\)；变式①：\(\frac13\)；变式②：不独立；变式③：不互斥。
解题过程1. 缩小范围：B 中有 4、5、6，共 3 个等可能结果。
2. 找交集：同时满足 A、B 的有 4、6，共 2 个。
3. 得到 \(P(A\mid B)=\frac23\)。
变式②：\(P(A)P(B)=\frac14\)，不等于 \(P(AB)=\frac13\)。易错提醒：互斥看交集是否为空；独立看概率乘法是否成立。
收口口诀：条件先缩范围，独立乘法验；互斥不等于独立。

4. 2×2 列联表：证据有关联，不等于有因果

常考约55分钟

标准步骤

  1. 整理四格频数与行列合计。
  2. 写出“两个分类变量相互独立”的原假设。
  3. 核对题目给出的适用条件并计算 \(\chi^2\)。
  4. 与给定临界值比较，按题目口径写统计结论。
临界值：自由度为 1 时，显著性水平 0.05 的上侧临界值是 3.841。计算值大于 3.841，拒绝独立假设；否则证据不足，不能说“已经证明独立”。
综合题检查：抽样是否随机 → 比例或条件概率是否正确 → 检验是否满足条件 → 结论是否只说“有关联”，不越界写成“导致”。
教学母题基础自编
结果是结果否
甲组3020
乙组2030
根据上表计算 \(\chi^2\)，并在显著性水平 0.05 下判断两个分类变量是否有关联。
入口：按表格位置确定 a、b、c、d；结论只谈统计关联。
答案\(\chi^2=4\)。在显著性水平 0.05 下，认为两个分类变量有关联。
解题过程1. 取 \(a=30,b=20,c=20,d=30,n=100\)。
2. 算交叉差：\(ad-bc=30\times30-20\times20=500\)。
3. 代入：\(\chi^2=\frac{100\times500^2}{50\times50\times50\times50}=4\)。
4. 比较：\(4>3.841\)，拒绝独立假设，认为两变量有关联。易错提醒：不能由“有关联”推出“甲组导致结果变化”。

第4部分练习：比较后再写结论

学生母题基础自编中档
达标未达标
方式一128
方式二812
计算 \(\chi^2\)，并在显著性水平 0.05 下判断学习方式与是否达标是否有关联。
入口：先算行列合计，再代入列联表公式。
短变式：① 若临界值改为 6.635，结论怎样；② 四格都改为 10，统计量是多少；③ 能否说方式一导致更容易达标
答案母题：\(\chi^2=1.6\)，证据不足以认为有关联；变式①：仍证据不足；变式②：0；变式③：不能。
解题过程1. 取 \(a=12,b=8,c=8,d=12,n=40\)。
2. 算交叉差：\(ad-bc=144-64=80\)。
3. 代入：\(\chi^2=\frac{40\times80^2}{20\times20\times20\times20}=1.6\)。
4. 比较：\(1.6<3.841\)，不能拒绝独立假设，只能说关联证据不足。易错提醒：小于临界值不等于“证明独立”；观察性数据不能直接证明因果。
收口口诀：先列假设再比较，结论只到证据边界。
4小时课堂出口

样本看代表
相关不说因果
条件先缩范围
检验守住边界

能独立完成四道学生母题及其变式，正确率达到 80% 后，再进入更复杂的概率综合题。