导数：公切线、切线与增减区间（2小时）
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广西高考数学基础课

导数：公切线、切线与增减区间（2小时）
先看入口，再走步骤

120 分钟主线：会求导、会写切线；分清“切点已知”和“过定点”；用两个切点找公切线；最后用导数符号表求单调性与极值。

公式速查：先看定义域，再求导

基本导数

\((c)'=0\)，\((x^n)'=nx^{n-1}\)，\((\mathrm e^x)'=\mathrm e^x\)，\((\ln x)'=\frac{1}{x}\)。

条件：幂函数按题目定义域使用；\(\ln x\) 只在 \(x>0\) 时有意义。

运算与切线

\((u+v)'=u'+v'\)，\((uv)'=u'v+uv'\)。

函数在 \(x=x_0\) 处可导时，切线为 \[y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).\]

口语解释：切点给位置，导数给斜率。不可导时不能直接写这条公式。

1. 导数意义、基本求导与切线

必会

目标｜25 分钟

导数 \(f'(x_0)\) 表示函数在 \(x_0\) 附近的瞬时变化率；几何上，它是曲线在该点切线的斜率。

四步：求 \(f'(x)\) → 代 \(x_0\) 得斜率 → 算 \(f(x_0)\) 得切点 → 写点斜式。
先确认“在某点可导”。只算斜率，不等于写完切线。
教学母题基础自编
求曲线 \(y=x^2\) 在 \(x=1\) 处的切线方程。
本题入口：切点是 \((1,f(1))\)，斜率是 \(f'(1)\)。
答案\(y=2x-1\)
解题过程1. 求导：\(f'(x)=2x\)。
2. 代入：\(f'(1)=2\)，所以斜率为 2。
3. 算点：\(f(1)=1\)，切点为 \((1,1)\)。
4. 写式：\(y-1=2(x-1)\)，整理得所求直线。易错提醒：切点纵坐标要代回原函数，不是代入导函数。

第1部分练习：点与斜率要配齐

学生母题基础自编
求曲线 \(y=x^3-x\) 在 \(x=1\) 处的切线方程。
本题入口：先求 \(f'(x)=3x^2-1\)。
短变式：① 改在 \(x=0\) 处求切线；② 求 \(y=x^2+1\) 在 \(x=-1\) 处的切线
答案母题：\(y=2x-2\)；变式①：\(y=-x\)；变式②：\(y=-2x\)
解题过程1. 求导并代入：\(f'(1)=2\)。
2. 代回原函数：\(f(1)=0\)。
3. 写点斜式：\(y=2(x-1)\)。
变式只需更换切点横坐标，再重复“斜率—切点—点斜式”。易错提醒：\(x^3\) 的导数是 \(3x^2\)，不要漏掉指数。

2. 已知切点、过定点与参数

常考谨慎使用

目标｜25 分钟

已知切点：横坐标直接代入。只说过定点：定点通常不在曲线上，必须另设切点 \(Q(t,f(t))\)。

过点检验：切线 \(y-f(t)=f'(t)(x-t)\) 写好后，把给定点坐标代入，解 \(t\) 或参数。
不能把“直线经过的点”自动当成切点。
教学母题基础自编
曲线 \(y=x^2+a\) 在 \(x=1\) 处的切线经过原点，求 \(a\) 及切线方程。
本题入口：切点已知；把原点代入切线。
答案\(a=1\)，切线为 \(y=2x\)
解题过程1. 求导：\(f'(x)=2x\)，所以切线斜率为 2。
2. 算点：切点为 \((1,1+a)\)。
3. 写式：\(y-(1+a)=2(x-1)\)。
4. 代入原点，得到 \(a=1\)，再整理切线。易错提醒：参数会改变切点纵坐标，但本题不改变斜率。

第2部分练习：过定点要先设切点

学生母题基础自编
求所有经过点 \(P(0,-1)\) 且与曲线 \(y=x^2\) 相切的直线。
本题入口：设切点 \(Q(t,t^2)\)，切线斜率为 \(2t\)。
短变式：① 把定点改为 \(P(0,0)\)；② 把定点改为 \(P(0,1)\)
答案母题：\(y=2x-1\) 或 \(y=-2x-1\)；变式①：\(y=0\)；变式②：不存在实切线
解题过程1. 设切点 \(Q(t,t^2)\)。
2. 写切线：\(y-t^2=2t(x-t)\)，即 \(y=2tx-t^2\)。
3. 代入 \(P(0,-1)\)，得 \(t^2=1\)。
4. 分别代入 \(t=1\) 与 \(t=-1\)，得到两条切线。易错提醒：解出几个实数切点，就要逐一写出并检验几条切线。

3. 两曲线公切线：两个切点，两组条件

常考谨慎使用

目标｜30 分钟

在 \(y=f(x)\) 上设切点横坐标 \(u\)，在 \(y=g(x)\) 上设 \(v\)。同一条直线必须同时满足：

\[f'(u)=g'(v),\qquad f(u)-u f'(u)=g(v)-v g'(v).\]

检验：把直线分别代回两条曲线，确认交点处斜率相同。只有题目说明同一切点时，才额外令 \(u=v\) 且 \(f(u)=g(u)\)。
教学母题基础自编
求曲线 \(y=x^2\) 与 \(y=-x^2-2\) 的公切线。
本题入口：分别设切点横坐标 \(u,v\)，对齐斜率与截距。
答案\(y=2x-1\) 与 \(y=-2x-1\)
解题过程1. 第一条曲线在 \(u\) 处的切线为 \(y=2ux-u^2\)。
2. 第二条曲线在 \(v\) 处的切线为 \(y=-2vx+v^2-2\)。
3. 对齐斜率得 \(u=-v\)；对齐截距得 \(-u^2=v^2-2\)。
4. 解得 \(u=1\) 或 \(u=-1\)，写出两条直线并分别代回检验。易错提醒：两条曲线上的切点通常不同，不能一开始就令 \(u=v\)。

第3部分练习：同线不等于同切点

学生母题基础自编
求曲线 \(y=x^2\) 与 \(y=(x-2)^2\) 的公切线。
本题入口：设两切点横坐标为 \(u,v\)，先用斜率相等得到 \(v=u+2\)。
短变式：① 把第二条曲线改为 \(y=(x-4)^2\)；② 判断 \(y=0\) 是否为 \(y=x^2\) 与 \(y=x^3\) 在同一点处的公切线
答案母题：\(y=0\)；变式①：\(y=0\)；变式②：是，公共切点为原点
解题过程1. 第一条切线为 \(y=2ux-u^2\)。
2. 第二条曲线在 \(v\) 处斜率为 \(2(v-2)\)，相等给出 \(v=u+2\)。
3. 对齐截距得到 \(u=0\)，从而 \(v=2\)。
4. 写出 \(y=0\)，并检查它分别在 \((0,0)\)、\((2,0)\) 处相切。易错提醒：公切线相同，但母题的两个切点不是同一个点。

4. 增减区间、极值与基础参数分类

大题方法必会

目标｜40 分钟

先写定义域，再求 \(f'(x)\)。用导数为零的点、不可导点和定义域端点切开区间；逐段判断正负。

标准动作：定义域 → 求导 → 找分界点 → 列符号 → 写开区间 → 看导数是否变号判断极值。
\(f'(x_0)=0\) 不保证有极值；必须检查左右是否变号。
真题节选2022 新高考全国Ⅱ卷·第22题（1）
已知 \(f(x)=x\mathrm e^{ax}-\mathrm e^x\)。当 \(a=1\) 时，讨论 \(f(x)\) 的单调性。
方法：先化为 \((x-1)\mathrm e^x\)，再用乘积求导。
答案减区间为 \(( -\infty,0)\)，增区间为 \((0,+\infty)\)
解题过程1. 写定义域：全体实数。
2. 代入 \(a=1\)：\(f(x)=(x-1)\mathrm e^x\)。
3. 求导：\(f'(x)=x\mathrm e^x\)。
4. 因为 \(\mathrm e^x>0\)，导数符号只看 \(x\)：在 0 左侧为负，在 0 右侧为正。
5. 写出两个开区间；同时可知 \(x=0\) 为极小值点，极小值为 \(-1\)。易错提醒：原题只问单调性，极值可用来检算，不要漏写区间。

第4部分练习：参数先看临界值

学生母题基础自编
设 \(f_a(x)=x^3-3ax\)。按 \(a>0\)、\(a=0\)、\(a<0\) 求单调区间，并说明是否有极值。
方法：\(f_a'(x)=3(x^2-a)\)，临界值来自 \(a=0\)。
短变式：① 只取 \(a=1\)，写单调区间与极值；② 求 \(h(x)=\ln x-x\) 的单调区间与极值
答案母题：当 \(a>0\) 时，在 \(( -\infty,-\sqrt a)\)、\((\sqrt a,+\infty)\) 上增，在 \(( -\sqrt a,\sqrt a)\) 上减；极大值为 \(2a\sqrt a\)，极小值为 \(-2a\sqrt a\)。当 \(a\leq0\) 时，在全体实数上增，无极值。变式①：增区间 \(( -\infty,-1)\)、\((1,+\infty)\)，减区间 \((-1,1)\)，极大值 2，极小值 \(-2\)。变式②：在 \((0,1)\) 上增，在 \((1,+\infty)\) 上减，极大值 \(-1\)。
解题过程1. 写定义域为全体实数，并求 \(f_a'(x)=3(x^2-a)\)。
2. 当 \(a>0\) 时，零点为 \(\pm\sqrt a\)，按“正—负—正”写三个区间并代回求极值。
3. 当 \(a=0\) 时，导数为 \(3x^2\)，虽在 0 处等于 0，但不变号；函数仍在全体实数上严格递增。
4. 当 \(a<0\) 时，导数恒为正，所以函数在全体实数上递增。易错提醒：\(a=0\) 必须单列；变式②的定义域端点 0 不属于定义域。
课堂出口

切线：点＋斜率
公切线：两点同线
单调性：定义域＋导数符号

先把 4 道学生母题和短变式做到 80% 正确，再进入导数恒成立、不等式证明等综合题。遇到错题，先回到对应部分的步骤入口。