立体几何：证明＋计算
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广西高考数学基础课 · 4小时

看清关系
写准依据
算完检验

四小时只练两条主线：证明题写“条件—定理—结论”；计算题写“识别角或距离—选几何法或建系—检查范围”。

建议节奏：每部分 45 分钟学习＋15 分钟练习。面向基础薄弱学生，先完成“必会”，再看“常考”。

公式与判定速查：条件写在结论前

平行、垂直

线面平行：平面外一条直线平行于平面内一条直线。

线面垂直：一条直线垂直于平面内两条相交直线。

不能漏写“平面外”“平面内”“相交”。

体积、表面积

棱柱：\(V=S_{底}h\)。

棱锥：\(V=\frac{1}{3}S_{底}h\)。

圆锥：\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)，侧面积 \(S=\pi rl\)。

向量求角

线面角 \(\theta\)：\(\sin\theta=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}\)。

二面角：先求两个法向量夹角，再按图形判断取锐角还是钝角。

检算三问：长度是否为正？角度是否在题目要求范围内？体积单位是否是“立方单位”？

1. 位置关系与平行证明 60分钟

必会

识别信号 → 标准语言

  • 中点＋中点：先想三角形中位线。
  • 两组对边平行：先想平行四边形。
  • 证明线面平行：找平面内“搭桥线”。
  • 证明面面平行：在一个平面内找两条相交直线，分别平行于另一个平面。
固定四句：指出搭桥线在平面内 → 证明两线平行 → 说明目标线不在平面内 → 用判定定理得线面平行。

谨慎使用：两条直线都平行于同一平面，不能推出两直线平行。

教学母题2024全国甲卷理科19（1）·结构改编
在五面体中，四边形 EMCB 为平行四边形，直线 \(EM\) 不在平面 \(BCF\) 内，且 \(BC\subset\) 平面 \(BCF\)。证明：\(EM\parallel\) 平面 \(BCF\)。
本题入口：平行四边形给出 \(EM\parallel BC\)，用 \(BC\) 作搭桥线。
答案\(EM\parallel\) 平面 \(BCF\)。
解题过程1. 由四边形 \(EMCB\) 为平行四边形，得到 \(EM\parallel BC\)。
2. 写出 \(BC\subset\) 平面 \(BCF\)。
3. 写出 \(EM\not\subset\) 平面 \(BCF\)。
4. 由直线与平面平行的判定定理，得到结论。失分点：只写 \(EM\parallel BC\) 就停笔；漏写线在面内、目标线在面外。

第1部分练习：把“搭桥线”写出来

四棱锥中的中位线四棱锥P-ABCD，E和F分别是PA和PD的中点，突出线段EF与底边AD平行。PABDEF
学生母题基础自编
在四棱锥 \(P-ABCD\) 中，\(E,F\) 分别是 \(PA,PD\) 的中点，\(AD\subset\) 平面 \(ABCD\)。证明：\(EF\parallel\) 平面 \(ABCD\)。
入口：在三角形 \(PAD\) 中先证 \(EF\parallel AD\)。
短变式：
① 把“中点”改成 \(\frac{PE}{PA}=\frac{PF}{PD}\)，还能用相似三角形得到平行。
② 若只知道 \(E\) 是中点、\(F\) 在 \(PD\) 上，不能直接判定平行。
答案母题：\(EF\parallel\) 平面 \(ABCD\)；变式①：能；变式②：不能。
解题过程1. 在三角形 \(PAD\) 中，由中位线定理得 \(EF\parallel AD\)。
2. 写出 \(AD\subset\) 平面 \(ABCD\)，且 \(EF\not\subset\) 平面 \(ABCD\)。
3. 用线面平行判定定理得到结论。
变式①只把“中位线”换成“相似三角形”；变式②缺少比例条件。检算：搭桥线必须在目标平面内；目标线不能也躺在目标平面内。

2. 垂直证明与辅助线 60分钟

必会条件不能少

垂直证明的“升级链”

线线垂直 \(\rightarrow\) 线面垂直 \(\rightarrow\) 面面垂直。

  • 证线面垂直：找平面内两条相交直线。
  • 证面面垂直：找一个平面内一条直线，证明它垂直另一个平面。
  • 常见辅助线：连中点、作高、补底面对角线、取投影。
检算：你写出的两条面内直线是否真的相交？垂足是否落在所说平面内？
教学母题2021全国乙卷理科18·条件改编
在四棱锥 \(P-ABCD\) 中，底面 \(ABCD\) 是矩形，\(PD\perp\) 平面 \(ABCD\)。证明：\(CD\perp\) 平面 \(PAD\)。
本题入口：在平面 \(PAD\) 内找相交直线 \(PD,AD\)。
答案\(CD\perp\) 平面 \(PAD\)。
解题过程1. 由 \(PD\perp\) 平面 \(ABCD\) 且 \(CD\subset\) 平面 \(ABCD\)，得 \(PD\perp CD\)。
2. 由底面是矩形，得 \(AD\perp CD\)。
3. 写出 \(PD,AD\subset\) 平面 \(PAD\)，且 \(PD\cap AD=D\)。
4. 由线面垂直判定定理得到结论。失分点：只证一组线线垂直；没有说明两条直线相交。

第2部分练习：两条相交线缺一不可

线面垂直示意直线PO垂直平面内相交的OA与OB，O处画有直角符号。POAB
学生母题基础自编
平面 \(\alpha\) 内两条直线 \(OA,OB\) 相交于 \(O\)。已知 \(PO\perp OA\)，\(PO\perp OB\)。证明：\(PO\perp\alpha\)。
入口：题目已经把线面垂直判定定理的三个条件给齐。
短变式：
① 若 \(OA\parallel OB\)，不能用该判定定理。
② 若再有 \(PO\subset\beta\)，则可推出 \(\beta\perp\alpha\)。
答案母题：\(PO\perp\alpha\)；变式①：不能；变式②：\(\beta\perp\alpha\)。
解题过程1. 写出 \(OA,OB\subset\alpha\) 且 \(OA\cap OB=O\)。
2. 写出 \(PO\perp OA\) 且 \(PO\perp OB\)。
3. 用线面垂直判定定理得到母题结论。
变式①缺“相交”；变式②用面面垂直判定定理。口诀：面内两线要相交，面外一线都垂直。

3. 几何法算角、距、体积表面积 60分钟

常考

先把空间量“落地”

  • 异面直线角：平移一条线，变成相交直线角。
  • 线面角：找直线在平面内的射影。
  • 点面距离：找垂线段；棱锥高也必须垂直底面。
  • 体积：先认底，再找对应的高；需要时换底。
识别信号：圆锥、棱锥、圆台先画轴截面；“到平面的距离”先标垂足。

不能直接使用：斜棱不是高；圆锥母线不是高；异面直线不能直接当成相交线量角。

教学母题2024全国甲卷理科14·原题
甲、乙两个圆台的上下底半径都为 \(r_1,r_2\)，且 \(r_1>r_2>0\)。母线长分别为 \(2(r_1-r_2)\) 和 \(3(r_1-r_2)\)。求两圆台体积之比 \(V甲:V乙\)。
本题入口：底面完全相同，体积之比就是高之比；在轴截面内用勾股定理求高。
答案\(V甲:V乙=\sqrt6:4\)。
解题过程1. 记 \(d=r_1-r_2>0\)。轴截面中，母线、高与 \(d\) 构成直角三角形。
2. 甲圆台高 \(h_1=\sqrt{(2d)^2-d^2}=\sqrt3d\)。
3. 乙圆台高 \(h_2=\sqrt{(3d)^2-d^2}=2\sqrt2d\)。
4. 两圆台底面相同，圆台体积公式中的其余因子相同，所以 \(V甲:V乙=h_1:h_2=\sqrt6:4\)。失分点：把母线当高；没有先说明 \(r_1-r_2>0\)。

第3部分练习：底和高要配对

四棱锥体积示意正方形底面边长为2，顶点P到底面中心O的垂线长为3。PO3底边 2
学生母题基础自编
四棱锥 \(P-ABCD\) 的底面是边长为 2 的正方形，\(PO\perp\) 底面 \(ABCD\)，且 \(PO=3\)。求四棱锥体积。
入口：正方形面积作底，\(PO\) 作高。
短变式：
① 高改为 6，体积变为原来的 2 倍。
② 底边改为 4、高不变，体积变为原来的 4 倍。
答案母题：\(4\)；变式①：\(8\)；变式②：\(16\)。
解题过程1. 算底面积：\(S_{底}=2^2=4\)。
2. 确认 \(PO\perp\) 底面，所以 \(PO=3\) 是高。
3. 代入 \(V=\frac13S_{底}h\)，得到 \(V=\frac13\times4\times3=4\)。
变式①只改高；变式②底边扩大 2 倍，底面积扩大 4 倍。检算：体积单位应为立方单位；底边扩大 2 倍不代表底面积只扩大 2 倍。

4. 建系与空间向量综合 60分钟

大题方法

建系六步

  1. 找三条两两垂直的方向。
  2. 选交点作原点，写清坐标轴。
  3. 写关键点坐标和方向向量。
  4. 设平面法向量 \(\vec n=(x,y,z)\)。
  5. 用“法向量垂直于面内两条相交线”列方程。
  6. 代角公式，并根据图形判断锐钝。
检算：把法向量分别点乘平面内两条方向向量，结果都应为 0。
教学母题2021全国乙卷理科18（2）·降阶改编
已知直线方向向量 \(\vec v=(1,0,1)\)，平面法向量 \(\vec n=(0,0,1)\)。求直线与平面所成角 \(\theta\)。
本题入口：线面角的正弦等于直线方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。
答案\(\theta=45^\circ\)。
解题过程1. 算点积：\(|\vec v\cdot\vec n|=1\)。
2. 算模长：\(|\vec v|=\sqrt2\)，\(|\vec n|=1\)。
3. 代入线面角公式，得 \(\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\)。
4. 线面角取 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\)，所以 \(\theta=45^\circ\)。失分点：把线面角直接当成方向向量与法向量的夹角；点积忘记取绝对值。

第4部分练习：法向量先过检算

二面角提醒

两个法向量的夹角可能是二面角，也可能是它的补角。若题目只求正弦，两者正弦相同；若求角或余弦，必须结合图形判断。

快捷检验：法向量不唯一，任意非零倍数都表示同一法向方向。

学生母题基础自编
平面 \(\alpha\) 的法向量为 \(\vec n_1=(1,0,0)\)，平面 \(\beta\) 的法向量为 \(\vec n_2=(1,1,0)\)。求两平面所成锐二面角 \(\varphi\)。
入口：先求两个法向量夹角；本题指定“锐二面角”。
短变式：
① 把 \(\vec n_2\) 改为 \((-1,-1,0)\)，锐角不变。
② 若 \(\vec n_2=(0,1,0)\)，两平面垂直。
答案母题：\(\varphi=45^\circ\)；变式①：\(45^\circ\)；变式②：\(90^\circ\)。
解题过程1. 算点积：\(|\vec n_1\cdot\vec n_2|=1\)。
2. 算模长：\(|\vec n_1|=1\)，\(|\vec n_2|=\sqrt2\)。
3. 得 \(\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2}\)，所以锐二面角为 \(45^\circ\)。
变式①只反向法向量，平面不变；变式②两个法向量垂直。检算：题目若未写“锐角”，必须回到图形判断实际二面角。
课堂出口

证明：找桥梁，写条件
计算：先落地，再建系

基础自测达到 80% 后，再做含两个知识点的综合题。错在定理条件，就回第1、2部分；错在“高、射影、法向量”，就回第3、4部分。

键盘：方向键、PageUp/PageDown 或空格翻页；当前题可用 A 切换答案、S 切换过程。