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广西高考数学基础课 · 120分钟

选择填空小题型
先认入口，再做短算

集中扫清集合、基本不等式、复数和平面向量四类基础小题。每题先检查条件，再选择最短入口。

25分钟
集合
25分钟
基本不等式
25分钟
复数
25分钟
平面向量

导入与出口各 10 分钟，总计 120 分钟。

公式速查：条件写在公式前

集合与基本不等式

补集相对全集：\(C_UA=U\setminus A\)。

当 \(a>0,b>0\) 时，\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，等号在 \(a=b\) 时成立。

复数与向量

\(i^2=-1\)，且 \(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)。

\((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2\)。非零向量点积为 0 时互相垂直。

1. 集合：先写全集，再做筛选

必会选择填空

三个入口

  • 交集：只留下共同元素。
  • 并集：合并全部元素，重复只写一次。
  • 补集：先确认全集，再删除集合中的元素。
10秒验证：把答案中的每个元素放回定义检查。
误用提醒：全集不同，补集可能不同。
教学母题2025新高考Ⅰ卷第1题·同考点改编
设全集 \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)，集合 \(A=\{1,3,5\}\)，求 \(C_UA\) 中的元素个数。
本题入口：从全集中划去 1、3、5。
答案3
解题过程1. 写出全集的六个元素。
2. 划去集合 \(A\) 中的 1、3、5。
3. 剩下 \(\{2,4,6\}\)，共有 3 个元素。易错提醒：题目问元素个数，不是要求写集合。

集合练习：交、并、补不要混

学生母题基础自编
设 \(U=\{0,1,2,3,4\}\)，\(B=\{1,4\}\)，求 \(C_UB\)。
本题入口：从 \(U\) 中删除 1 和 4。
短变式：① 若 \(A=\{1,2,3\}\)，求 \(A\cap B\)。② 求 \(A\cup B\)。③ 判断 \(0\in C_UB\) 是否成立。
答案母题：\(\{0,2,3\}\)；① \(\{1\}\)；② \(\{1,2,3,4\}\)；③ 成立
解题过程1. 补集按全集逐项删除。
2. 交集只保留两集合共有的 1。
3. 并集合并后去重。易错提醒：元素 1 在并集中只写一次。

2. 基本不等式：正、定、等

必会谨慎使用

使用前查三件事

正：各项为正；定：和或积中有一个固定；等：等号条件确实能取到。

10秒验证：先写取等条件，再检查它是否落在定义域内。
不能直接用：出现负数或零时，不可照搬正数形式。
教学母题基础自编
已知 \(x>0\)，求 \(x+\frac{1}{x}\) 的最小值。
本题入口：两项均为正，且乘积固定为 1。
答案2
解题过程1. 检查 \(x>0\)，所以两项都为正。
2. 使用基本不等式：\(x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)。
3. 当 \(x=1\) 时等号成立。易错提醒：只写“大于等于 2”还不够，必须确认能取等。

基本不等式练习：先配成定积

学生母题2024新课标Ⅱ卷第8题·降阶同考点改编
已知 \(a>0\)，求 \(a+\frac{4}{a}\) 的最小值。
本题入口：两项乘积固定为 4。
短变式：① 求 \(t+\frac{9}{t}\) 的最小值，其中 \(t>0\)。② 若 \(u,v>0\) 且 \(u+v=6\)，求 \(uv\) 的最大值。③ 当 \(x<0\) 时，能否直接用 \(x+\frac1x\ge2\)？
答案母题：4；① 6；② 9；③ 不能
解题过程1. 写出 \(a\cdot\frac4a=4\)。
2. 得 \(a+\frac4a\ge2\sqrt4=4\)。
3. 当 \(a=2\) 时取等。易错提醒：变式③不满足正数条件。

3. 复数：最后写成实部加虚部

必会选择填空

三个基础动作

  • 牢记 \(i^2=-1\)。
  • 加减分别合并实部与虚部。
  • 求模用 \(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)。
10秒验证：结果整理为 \(a+bi\)。
误用提醒：虚部是 \(b\)，不是 \(bi\)。
教学母题2024新课标Ⅱ卷第1题·同考点改编
计算 \((1+i)(1-i)\)。
本题入口：展开后把 \(i^2\) 换成 \(-1\)。
答案2
解题过程1. 展开得 \(1-i+i-i^2\)。
2. 中间两项抵消。
3. 代入 \(i^2=-1\)，得到 2。易错提醒：\(-i^2=1\)。

复数练习：实部、虚部分开算

学生母题基础自编
计算 \((2+i)+(3-2i)\)。
本题入口：实部与实部相加，虚部与虚部相加。
短变式：① 计算 \((2+i)(1+i)\)。② 写出 \(z=3-4i\) 的实部、虚部和模。③ 求 \(i^4\)。
答案母题：\(5-i\)；① \(1+3i\)；② 实部 3、虚部 \(-4\)、模 5；③ 1
解题过程1. 实部相加得 5。
2. 虚部系数相加得 \(-1\)。
3. 写成 \(5-i\)。易错提醒：变式②的虚部是 \(-4\)，不是 \(-4i\)。

4. 平面向量：对应坐标做运算

必会常考

坐标入口

加减法对应坐标分别运算；模长用平方和开根；数量积是对应坐标相乘后相加。

10秒验证：点积结果是数，不是向量。
谨慎使用：用点积为 0 判断垂直时，两向量必须非零。
教学母题2024新课标Ⅱ卷第3题·降阶同考点改编
已知 \(\boldsymbol a=(1,2)\)，\(\boldsymbol b=(2,-1)\)，求 \(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\)，并判断两向量是否垂直。
本题入口：对应坐标相乘后相加。
答案点积为 0，两向量垂直
解题过程1. 计算 \(1\times2+2\times(-1)=0\)。
2. 两向量都不是零向量。
3. 因此 \(\boldsymbol a\perp\boldsymbol b\)。易错提醒：不要把坐标直接相加当作点积。

向量练习：先认结果类型

学生母题基础自编
已知 \(\boldsymbol p=(3,1)\)，\(\boldsymbol q=(1,2)\)，求 \(\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q\)。
本题入口：先乘再加。
短变式：① 求向量 \((3,4)\) 的模。② 判断 \((1,1)\) 与 \((1,-1)\) 是否垂直。③ 求 \((2,0)+(-1,3)\)。
答案母题：5；① 5；② 垂直；③ \((1,3)\)
解题过程1. 对应坐标相乘：\(3\times1\) 与 \(1\times2\)。
2. 相加得 5。
变式①用 \(\sqrt{3^2+4^2}=5\)；变式③按坐标相加。易错提醒：模长不能直接把两个坐标相加。
课堂出口 · 10分钟

集合先写全集
不等式先查正数
复数牢记 \(i^2=-1\)
向量对应坐标算

四道学生母题正确率达到 80% 后，再进入参数题和综合题。错题先回到本部分的“10秒验证”。