三角函数与恒等变换

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)（\(\cos\alpha\ne0\)）

\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)

\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)

图像与解三角形

\(y=A\sin(\omega x+\varphi)+k\)：振幅 \(|A|\)，周期 \(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\)

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

\(S_{\triangle ABC}=\frac12bc\sin A\)

边 \(a,b,c\) 分别对角 \(A,B,C\)。已知“边角边”优先余弦定理；已知“一边及其对角”优先正弦定理。

先定位角，再决定正负

角度与弧度：\(180^\circ=\pi\)，所以 \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\)。终边上一点 \((x,y)\)，\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)：\(\sin\alpha=\frac yr\)，\(\cos\alpha=\frac xr\)，\(\tan\alpha=\frac yx\)（\(x\ne0\)）。

象限符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。诱导公式先“化到锐角”，再按原角象限定符号。

\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)

\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)

把参数逐个翻译

对 \(y=A\sin(\omega x+\varphi)+k\)：振幅是 \(|A|\)，周期是 \(\frac{2\pi}{|\omega|}\)，中线是 \(y=k\)，值域是 \([k-|A|,k+|A|]\)。

当 \(\omega>0\) 时，先写成 \(\omega(x+\frac{\varphi}{\omega})\)。括号内“加”表示向左平移，“减”表示向右平移。

五点法：令整体角依次取 \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi\)，再反求 \(x\)。单调区间也先换成“整体角”的标准区间。

先认结构，再展开

看到 \(\alpha\pm\beta\)，用和差角公式；看到 \(2\alpha\)，用二倍角公式。余弦公式的中间符号与括号中的符号相反。

\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)

常考入口：两项能拼成 \(\sin(\alpha+\beta)\) 或 \(\cos(\alpha-\beta)\) 时，优先整体合并，少展开一步。

谨慎使用：\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) 只有相关正切值有意义且分母不为 0 时才能直接使用。

先画对应，再选定理

识别信号：两角一边或两边与其中一边的对角，用正弦定理；两边夹角或三边，用余弦定理；两边夹角求面积，用面积公式。

谨慎使用：已知两边及其中一边的对角时，由 \(\sin B\) 不能立刻唯一确定 \(B\)。检查 \(B\) 与 \(\pi-B\) 是否都能组成三角形。

面积还可写成 \(\frac12ca\sin B\) 或 \(\frac12ab\sin C\)，必须取两边及其夹角。